01 — Wprowadzenie
Autor: Mateusz Szostak

Geometria
Nieskończoności

Cześć! Chcę Ci pokazać coś fascynującego - fraktale. To takie wzory, które powtarzają się w nieskończoność i tworzą naprawdę niesamowite kształty.

Fraktale to nie tylko matematyka - widzisz je codziennie. Aloes wielkolistny, płatek śniegu, liście paproci, chmury czy linia brzegowa – wszystko to ma fraktalną strukturę. Nawet kalafior romanesco w sklepie to idealny przykład fraktalu z natury.

Fraktale mają też praktyczne zastosowania - dzięki nim tworzymy realistyczne krajobrazy w grach komputerowych, kompresować "upakować" zdjęcia, projektujemy anteny w smartfonach, a nawet analizujemy zdjęcia medyczne.

Najważniejsza cecha fraktali to samopodobieństwo - jeśli powiększysz dowolny kawałek, wygląda tak samo jak całość. Zbiór Mandelbrota ma w sobie nieskończenie wiele miniaturowych kopii samego siebie, schowanych w głębszych warstwach. Im bardziej przybliżysz, tym więcej tego widzisz - nigdy się nie kończą. Zaraz pokażę Ci fraktal, który mnie zafacynował: zbiór Mandelbrota.

02 — Zbiór Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota

Nazwa pochodzi od odkrywcy Benoîta Mandelbrota (1924-2010). Urodził się w Warszawie, później mieszkał i studiował we Francji oraz USA. Przez wiele lat pracował w IBM, gdzie badał iteracje funkcji zespolonych. Jako matematyk rozsławił geometrię fraktalną, wynalazł i spopularyzował pojęcie „łac. fractus - fraktal”. W 1979 roku odkrył zbiór zwany „zbiorem Mandelbrota”, który nazywany jest czasem także „odciskiem palca Pana Boga”. Mandelbrot pokazał także liczne zastosowania w różnych obszarach życia (takich jak m.in. botanika, ekonomia, grafika komputerowa, meteorologia, hydrologia, medycyna, ale też nauki społeczne czy lingwistyka). Zbiór ten jest wykorzystywany dziś w grafice komputerowej oraz programowaniu. Jest świetnym testem wydajności mocy obliczeniowej komputerów.

Ten fraktal nie jest obiektem, który można bezpośrednio zobaczyć w naturze, żyje on na płaszczyźnie liczb zespolonych.

Liczba zespolona to punkt na płaszczyźnie, który ma dwie współrzędne - część rzeczywistą (oś x) i część urojoną (oś y).

Definicja liczby zespolonej
z = x + yi

z - liczba zespolona.

x - pierwsza współrzędna (Re).

y - druga współrzędna (Im).

i - jednostka urojona (i2 = -1).

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Intuicyjnie liczbę zespoloną można traktować jako pozycję piksela na ekranie.
Wykres liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej
Wizualizacja płaszczyzny zespolonej.
Wzór zbioru mandelbrota
{
z0 = 0,
zn+1 = zn2 + c
Co oznaczają symbole?

z0 - start - początek - zaczynamy od zera - nie ma żadnej "historii".

zn - wartość po n-tym kroku (po n powtórzeniach przepisu).

zn+1 - wartość w następnym kroku (wynik po poprzednim przeliczeniu).

n - numer kroku {0, 1, 2, 3...}.

c - punkt na płaszczyźnie zespolonej.

zn2 - "podnosimy" aktualny stan do kwadratu (na płaszczyźnie liczba zespolonych oznacza powiększanie i obrót).

W praktyce zastosowanie powyższego wzoru to powtarzanie tej samej czynności wielokrotnie, czyli zapętlanie - co możemy określić iteracją.

Wizualizacja zbioru Mandelbrota
Wizualizacja zbioru Mandelbrota.
03 — Algorytm
Przetwarzanie Danych

Jak komputer stosuje ten wzór? Krok po kroku

Aby narysować fraktal, komputer sprawdza każdy piksel osobno. Dla dowolnego punktu wykonuje iterację i sprawdza, czy otrzymane wartości należą do zbioru "ucieczki" - który oznaczam literą U. Zbiór U to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny układu współrzędnych poza punktami należącymi do koła o środku w punkcie (0,0) i promieniu długości 2.

Zbiór ucieczki
Zbiór ucieczki.
Algorytm
  1. Program wybiera punkt C (piksel).
  2. Startuje od Z0 = 0.
  3. W pętli wykonuje iteracje: Zn+1 = Zn2 + C.
  4. Powtarza kroki określoną liczbę razy.
Przykład 1: Punkt C = 1
  • Start: Z = 0
  • Krok 1: 02 + 1 = 1 (nie należy do zbioru U) Z1 = 1; Z1(1,0)
  • Krok 2: 12 + 1 = 2 (nie należy do zbioru U) Z2 = 2; Z2(2,0)
  • Krok 3: 22 + 1 = 5 (należy do zbioru U) Z3 = 5; Z3(5,0)
  • Krok 4: 52 + 1 = 26 (należy do zbioru U) Z4 = 26; Z4(26,0)

Wniosek: od kroku 3, wszystkie kolejne punkty należą do zbioru U.

Przykład 2: Punkt C = -1
  • Start: Z = 0
  • Krok 1: 02 + (-1) = -1(nie należy do zbioru U) Z1 = -1; Z1(-1,0)
  • Krok 2: (-1)2 + (-1) = 0 (nie należy do zbioru U) Z2 = 0; Z2(0,0)
  • Krok 3: 02 + (-1) = -1 (nie należy do zbioru U) Z3 = -1; Z3(-1,0)
  • Krok 4: (-1)2 + (-1) = 0 (nie należy do zbioru U) Z4 = 0; Z4(0,0)
  • Krok 5: 02 + (-1) = -1 (nie należy do zbioru U) Z5 = -1; Z5(-1,0)

Wniosek: w każdym kroku punkt nie należy do zbioru U.

04 — Wizualizacja / Interaktywna Mapa
ZOOM: 1.0x
Re: 0.0000 | Im: 0.0000
Renderowanie w czasie rzeczywistym (HTML5 Canvas). Scroll = zoom. Przeciągnij = przesuń.
Presety — Ciekawe Lokacje:
Cały zbiór Widok ogólny całego fraktala
Dolina Koników Morskich Słynne struktury przypominające koniki morskie
Dolina Słoni Formacje wyglądające jak słonie
Potrójna Spirala Piękna symetryczna spirala
Mini Mandelbrot Mała kopia całego zbioru głęboko w strukturze
Błyskawice Ostre, elektryzujące kształty
Rozgwiazda Wieloramienna struktura gwiazdy
05 — Teoria
Zbiór Julii

Zbiór Julii — bliski krewny Mandelbrota

Wzór jest ten sam, ale pytanie inne. W zbiorze Mandelbrota sprawdzamy, dla jakich wartości c kolejne obliczenia nie trafiają do zbioru U, zaczynając zawsze od punktu 0. W zbiorze Julii postępujemy odwrotnie - ustalamy c i sprawdzamy, dla jakich punktów startowych z0 = 0 obliczenia nie trafiają do zbioru U.

Każda wartość c daje zupełnie inny kształt. Dla wartości c z wnętrza zbioru Mandelbrota zbiory Julii są zazwyczaj spójne i pełne - tworzą jeden, połączony obiekt. Dla wartości c spoza zbioru rozpadają się na rozproszone punkty, przypominające pył. Dlatego zbiór Mandelbrota można traktować jako mapę całej rodziny zbiorów Julii - każdy punkt na tej mapie odpowiada innemu kształtowi.

Zbiór Mandelbrota

z0 = 0, c zmienia się (każdy piksel oznacza inne c)

Zbiór Julii

c = stała, z0 zmienia się (każdy piksel oznacza inne z0)

Wizualizacja zbioru Julii
Przykładowa wizualizacja zbioru Julii. [C = -0.7000 + 0.2700i]
06 — Laboratorium
Regulacja Parametrów

Stwórz własny fraktal

W tej sekcji możesz samodzielnie eksperymentować: wybierz wykładnik [2,3,4,5], ustaw wartość C i obserwuj, jak zmienia się kształt fraktala. Jeśli chcesz zacząć szybciej, skorzystaj z gotowych przykładów poniżej.

Gotowe przykłady C - kliknij, żeby wczytać:
Zn+1 = Zn 2 + C
Wybierz wykładnik potęgi:
2
3
4
5
Wybierz wartość C:
Re(C) - część rzeczywista
Im(C) - część urojona
C = 0.0000 + 0.0000i
07 — Podsumowanie
Wnioski

Moje wrażenia

Im więcej czasu spędzam z fraktalami, tym bardziej przekonuję się, że matematyka potrafi naprawdę zachwycać - to właśnie ta geometria nieskończoności wciąga najbardziej. Zasada jest prosta - a jednak zbiór Mandelbrota za każdym razem odkrywa przede mną coś nowego. To chyba najlepszy dowód na to, że w matematyce nigdy nie dociera się do końca.

Celem mojego projektu było pokazanie, że matematyka to nie tylko teoria z zeszytu - można ją zobaczyć i samodzielnie zbadać. Nawet kilka równań może prowadzić do złożonych, pięknych struktur. Jeśli ta praca wzbudzi w kimś większe zainteresowanie matematyką, uznam, że cel został osiągnięty.

08 — Źródła
Bibliografia

Bibliografia

  1. Wikipedia (PL) - Zbiór Mandelbrota: pl.wikipedia.org/wiki/Zbiór_Mandelbrota
  2. Wikipedia (PL) - Zbiór Julii: pl.wikipedia.org/wiki/Zbiór_Julii
  3. Wikipedia (PL) - Liczby zespolone: pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone
  4. Wikipedia (PL) - Fraktal: pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal
  5. Wikipedia (PL) - Samopodobieństwo: pl.wikipedia.org/wiki/Samopodobieństwo
  6. Zdjęcie kalafiora romanesco "romanesco_kalafior.jpg": By Ivar Leidus - Own work, CC BY-SA 4.0, commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=100133434
  7. Zdjęcie chmury "chmura_fraktal.jpg": Autorstwa NASA - http://earthobservatory.nasa.gov/Newsroom/NewImages/images.php3?img_id=16844, Domena publiczna, commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=756917
  8. Zdjęcie aloesu "aloes_fraktal.jpg": Autorstwa Sam - Praca własna, CC BY-SA 4.0, commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=40888693
  9. Zdjęcie paproci "paproc_fraktal.png": Autorstwa Adam Mihályi - Fractal_fern1.jpg, made by António Miguel de Campos - en:User:Tó campos, Domena publiczna, commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3161370
  10. Zdjęcie płatka śniegu "platek_sniegu.jpg": Pixabay, pixabay.com/pl/illustrations/kryształ-lodu-płatek-śniegu-śnieg-64157/
  11. Aleteia (PL) - Benoît Mandelbrot. Kim jest bohater Google Doodle i co łączyło go z Polską oraz… Bogiem?: pl.aleteia.org/2020/11/20/benoit-mandelbrot-kim-jest-bohater-google-doodle-i-co-laczylo-go-z-polska-i-bogiem/
  12. Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York.

Tytuł

Treść